Un exemple ràpid

$$ e^{\begin{pmatrix} 0&-1\\ 1&0 \end{pmatrix}t}=\begin{pmatrix} \cos t&-\sin t\\ \sin t&\cos t \end{pmatrix} $$

de manera que per $t=\pi$ deduïm que…

$$ e^{\begin{pmatrix} 0&-\pi\\ \pi&0 \end{pmatrix}}=\begin{pmatrix} -1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix} $$

Significat de tenir una matriu com a exponent

És defineix a partir de la sèrie de Taylor de la funció $e^x$.

Vídeo complet aquí.

• I si volem fer $2^\text{()}$ enlloc de $e^{()}$ o qualsevol altre nombre?

Recordem que és una expansió infinita, així que no farem cap càlcul matricial sinó un límit analític.

Propietats

$$ e^{i\hat{A}}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(i\hat{A})^n}{n!} =\sum_{n=0}^\infty i^{2n}\frac{\hat{A}^{2n}}{(2n)!} +\sum_{n=0}^\infty i^{2n+1}\frac{\hat{A}^{2n+1}}{(2n+1)!} =\\= \sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{\hat{A}^{2n}}{(2n)!}+i\sum_{n=0}^\infty(-1)^n \frac{\hat{A}^{2n+1}}{(2n+1)!}

\\= \cos\hat{A}+i\sin\hat{A} $$

Si $\hat{A}$ compleix alguna propietat recurrent al elevar-la a una potència potser podrem treure-la fora del cosinus i del sinus. Per exemple

$$ \text{si }\hat{A}^2=\mathbb{I}\implies\begin{cases} \hat{A}^{2n}=\mathbb{I}\\ \hat{A}^{2n+1}=\hat{A}\end{cases} $$

tenim que

$$ e^{i\alpha\hat{A}}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{(\alpha\hat{A})^{2n}}{(2n)!}+i\sum_{n=0}^\infty(-1)^n \frac{(\alpha\hat{A})^{2n+1}}{(2n+1)!}=\\ =\mathbb{I} \sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{\alpha^{2n}}{(2n)!} + i\hat{A}\sum_{n=0}^\infty(-1)^n \frac{\alpha^{2n+1}}{(2n+1)!}=\\ =\mathbb{I}\cos\alpha+i\hat{A}\sin\alpha $$

Un exemple en són les matrius de Pauli, ja que $\sigma_i^2=\mathbb{I}$ o $(\hat{n}\cdot\vec{\sigma})^2=\mathbb{I}$.

Descomposició espectral

La descomposició espectral d’una matriu diagonalitzable és

$$ \hat{A}=\sum_{i=1}^n\lambda_i\vec{v}_i\otimes\vec{v}_i $$