Matriu transposada conjugada
$$
A=\begin{pmatrix}
a_{11}&a_{12}\\
a_{21}&a_{22}
\end{pmatrix}
\qquad
A^T=\begin{pmatrix}
a_{11}&a_{21}\\
a_{12}&a_{22}
\end{pmatrix}
\qquad
A^\dagger=\begin{pmatrix}
a_{11}^&a_{21}^\\
a_{12}^&a_{22}^
\end{pmatrix}
$$
Operador hermític adjunt
Si $\hat{A}$ és un operador que es pot representar amb una matriu, $\hat{A}^\dagger$ és el seu operador hermític adjunt que equival a conjugar i transposar la matriu.
Propietats principals
- $(\hat{A}^\dagger)^\dagger=\hat{A}$
- $(\hat{A}+\hat{B})^\dagger=\hat{A}^\dagger+\hat{B}^\dagger$
- $(\hat{A}\hat{B})^\dagger=\hat{B}^\dagger \hat{A}^\dagger$
Altres propietats
- $c^\dagger=c^*$ amb $c\in \mathbb{C}$
- si $v \in V$ és un vector en un espai vectorial dotat d’un producte intern i $\omega\in V^*$ és el seu covector associat aleshores —> $v^\dagger=\omega$ i $\omega^\dagger=v$.
En mecànica quàntica això implica que $\ket{\psi}^\dagger=\bra{\psi}$ i $\bra{\psi}^\dagger=\ket{\psi}$.
Operadors hermítics
Si $\hat{A}^\dagger=\hat{A}$ diem que l’operador és hermític.
Teorema Espectral
- Si una matriu és hermítica és diagonalitzable
- En una eigenvalue-equation $\hat{A}v=\lambda v$ en què l’operador és hermític els valors propis sempre seran reals ($\lambda\in\R$). I els vectors propis $v$ seran ortogonals entre ells.
Per més informació: Diagonalització, teoremes espectrals i descomposició espectral.
Operador autoadjunt
Pel cas finit sempre es compleix $\text{domini}(A^\dagger)=\text{domini}(A)$. Ara bé, pel cas infinit no sempre es compleix (a vegades sí i a vegades no). Per distingir direm
- Operador hermític si $A=A^\dagger$