Funció zeta de Riemann, funció eta de Dirichlet i integrals relacionades

Funció zeta de Riemann, definicions:

$$ \zeta(s)=\sum_{k \geq 0} \frac{1}{k^s} $$

$$ \zeta(s)=\frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^{\infty} \frac{x^{s-1}}{e^x-1} d x\qquad\quad x\gt 1 $$

Aleshores per $x\gt1$

$$ \int_0^{\infty} \frac{x^{s-1}}{e^x-1} d x=\Gamma(s)\zeta(s) $$

I per $x \gt 1$

$$ \int_0^{\infty} \frac{x^{s-1}}{e^x-1} d x=\Gamma(s)\eta(s) $$

Demostració

Realment es podria expressar tot en funció de la zeta de Riemman (notar la següent propietat).

$$ \frac{1}{e^{x}+1}=\frac{1}{e^{x}-1}-\frac{2}{e^{2x}-1} $$

Una funció relacionada, la funció eta de Dirichlet

$$ \eta(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^x} $$

$$ \eta(s)=\left(1-2^{1-s}\right) \zeta(s) $$

S’arriba a les fórmules d’integrals següents

$$ \int_{-\infty}^\infty \frac{x^{2j}e^x}{(1+e^x)^2}dx =4j\Gamma (2j)\zeta (2j) $$

$$ \int_{-\infty}^\infty \frac{x^2e^x}{(1+e^x)^2}dx =\frac{\pi^2}{3} $$